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AND OR

仮説検定の考え方

仮説検定の考え方について、簡単な例を用いて考えてみましょう。

コインを投げて表が出た回数を数える

例として、コインを10回投げて、表が出た回数を数えることを考えてみましょう。

ゆがみがない、いわゆる「かたよりのない」コインであれば、 コインを1回投げた結果、表が出る確率も裏が出る確率も、 ちょうど半分の \normalsize \frac{1}{2} = 0.5 と考えて問題ないでしょう。 つまり、10回投げた結果として表が出る回数は5回ぐらいが最も多いと考えられます。

そこで、「あるコイン」を10回投げたところ、 表が9回も出たとします。 この「あるコイン」は「かたよりがない」コインでしょうか? それとも「かたよりがある」コインでしょうか?

「コインにはかたよりがない」という仮説を立てる

仮説検定では、母集団に対するある仮説を立てます。 そして、母集団から取り出した一部分、つまり標本を使って、 その結果が偶然のものなのか必然なのかを確率的に調べて、 仮説が正しいかどうかを判断する方法です。

今、「コインを10回投げたうち9回表がでた」ことについて考えています。 コインにかたよりがある可能性がありそうです。 そのことを仮説検定で確かめてみましょう。

仮説検定では、どちらかというと主張したいことに反対の仮説をまず考えます。 これが、「母集団に対するある仮説」になります。 この仮説を「無に帰することを予定した」という意味で、 「帰無仮説」といいます。 そして、帰無仮説に対立する仮説、つまり、 どちらかといえば主張したい仮説を「対立仮説」といいます。

もしコインにかたよりがあるとしても、どの程度かたよっているかまではわかりません。 そこで、帰無仮説として「コインにかたよりはない」という仮説を立てることにします。

まとめると、帰無仮説と対立仮説は次のようになります。

  • 帰無仮説 : 「コインにはかたよりがない
  • 対立仮説 : 「コインにはかたよりがある

コインの表が出る回数の確率を求める

次に、帰無仮説として立てた仮説のもとでの確率を求めて、 その確率をもとに、 今考えている事象(コインを10回投げたら9回表が出た)が偶然起こったことか 必然的に起こったことかを判断してみましょう。

コインのように表または裏の2種類の結果を考えるには、 第9回で学習した、二項分布の考え方を利用します。 二項分布は、ある独立な試行について事象 \normalsize A が起こる確率を \normalsize p 、起こらない確率を \normalsize q (= 1-p) とすると、この試行を独立に n 回繰り返したときに、事象 \normalsize A が起こる回数を確率変数 \normalsize X としたとき、 \normalsize X = x (つまり x 回起こる)となる確率は次のようになります。

\begin{eqnarray}\mathrm{P}( X=x ) &=& {_n} \mathrm{C}_x p^x q^{n-x} \\[10]&=& \frac{n!}{x! (n-x)!} p^x q^{n-x} \\[10]&=& \frac{n!}{x! (n-x)!} p^x (1-p)^{n-x}\end{eqnarray}

今回は、10回のうち表がでる回数を確率変数 \normalsize X として考えます。 表が出る確率も表が出ない(裏が出る)確率も同じで \normalsize p = q = \frac{1}{2} となりますから、表が x 回でる確率は次のようになります。

\begin{eqnarray}\mathrm{P}( X=x ) &=& { _{10} } \mathrm{C}_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{10-x} \\[10]&=& {_{10} } \mathrm{C}_x \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\[10]&=& \frac{ {_{10} } \mathrm{C}_x }{1024}\end{eqnarray}

この式を計算した結果を、確率分布として次のようにまとめておきます。

\normalsize X012345678910
確率0.0010.0100.0440.1170.2050.2460.2050.1170.0440.0100.001

仮説から求めた確率をもとに判断でする

今考えている仮説は「コインはかたよりがない」です。 では、10回中9回表が出るコインにかたよりがないのかあるのかを判断するには、 どうすればよいでしょう。

ここで、「コインにかたよりがないという仮説のもとで、 まれなこと(ある一定の確率以下の出来事)が起きた場合は、 そのコインはかたよりがないとは見なせない」としましょう。 これが仮説検定では重要な考え方です。

この「まれなこと」が起きたと判断する基準を、 有意水準といいます。 有意水準はあらかじめ決めておきます。 一般には5%(0.05)か1%(0.01)が使われます。 今回は有意水準を5%としておきましょう。

有意水準は、「100回のうち5回以下しか起こらない」という どのくらい稀(まれ)なことが起こるかの判断基準となります。
しかし、正しい仮説であっても、100回のうち5回以下しか起こらないことが 起こってしまう場合も考えられます。 つまり、「100回のうち5回未満は間違った判断をして、正しい仮説を捨ててしまう」可能性があることになります。 このような誤った判断をする危険があるため、 有意水準を「危険率」とも呼びます。 そして、「正しい帰無仮説を捨ててしまい、対立仮説を採択してしまう」ことを 第一種の過誤といいます。

表が9回はでる確率は、「表が9回でた」場合と「表が10回でた」場合の確率を足し合わせたものになります。少なくとも9回は出た、と考えます。 確率分布の表から、表が9回は出る確率は、0.010+0.001=0.011となります。 有意水準を5%(0.05)と考えると、それより小さい確率です。

有意水準より小さい確率で起きてしまったことを、 仮説検定では「仮説では起こるはずのないことが起こった」と見なします。 このことを「帰無仮説を棄却する」といいます。 もし、有意水準より大きい確率だった場合は、 「仮説で起こるはずのないことが起こらなかった」とみなして、 「帰無仮説を棄却できなかった」といいます。 今回の場合、表が9回でるのはめったに起こらないことが起こったので、 帰無仮説を棄却し、「コインにはかたよりがある」という判断になります。

ちなみに、表が8回でたコインが別にあったとしましょう。 そのコインにかたよりがあるかどうかを考えると、 8回以上表が出る確率は、確率分布から求めると、 0.044+0.010+0.001=0.055となり、有意水準5%を超えることになります。 つまり「コインにかたよりがないとはいえない」という判断になります。


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Last-modified: Wed, 01 Jul 2015 01:58:18 HADT (3214d)