健康統計の基礎・健康統計学 - 2015/13th/Welch's_Test の変更点

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TITLE:対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない）
*対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない） [#abcaaf36]

**検定の対象 [#i36c0164]
対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。
ただし、母分散の値はわからない。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~母集団1|~母集団2|
|~母平均|&mimetex(\normalsize \mu_1);|&mimetex(\normalsize \mu_2);|
|~標本の標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );|
|~標本平均|&mimetex(\normalsize \bar{x}_1 );|&mimetex(\normalsize \bar{x}_2 );|
|~標本分散|&mimetex(\normalsize {s_1}^2 );|&mimetex(\normalsize {s_2}^2 );|

なお、標本平均は不偏分散から求める。
#mimetex(){{
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
}}

**等分散の検定（F検定） [#m757343b]
等分散の検定の結果、&mimetex(\normalsize F_0 \geq F); ならば、母分散は未知で「等しくない」場合に、この検定を使う


**Welchの検定 [#h1a6969b]
-標本数の和が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 > 100); の場合にも使われることがある
-2組の母集団の分散が2倍以上違う場合や、標本数が2倍上違う場合に使われることがあり、やや特殊な検定法である


***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75]
対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の母集団の平均に差はない」 : &mimetex(\normalsize \mu_1 = \mu_2);
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の母集団の平均に差がある」 :  &mimetex(\normalsize \mu_1 \neq \mu_2);

***検定統計量の算出 [#ced84f2a]
-t分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
t_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} } }
}}
-なお、自由度は次のように算出する（整数にならない場合は、小数点以下を切り捨て）
#mimetex(){{
df = \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2  \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1}  \right\}
}}
--自由度の計算が複雑なので、あまりおススメの方法とはいえない…

**仮説の判定（両側検定） [#q81f9f97]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); と、自由度 &mimetex(\normalsize df); 、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（t分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |t_0| > t_{(\alpha/2)}(df));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」「平均に差がある」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |t_0| < t_{(\alpha/2)}(df));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「平均に差があるとはいえない」


**例題 [#db253e0d]
-女子大学生にデートに臨むときのハイヒールの高さを聞いたところ、自分を「おしゃれ」と答えた24人のハイヒールの高さの平均は3.67cm、標準偏差は1.79cmであった。また、自分を「普通」と答えた48人のハイヒールの高さの平均は2.77cm、標準偏差は1.29cmであった。「おしゃれ」と答えた人たちと「普通」と答えた人たちとでハイヒールの高さに差はあるか？

***考え方 [#a85c8978]
自分を「おしゃれ」と答えた女子大生と自分を「普通」と答えた女子大生のハイヒールの高さについて、答えた人数やハイヒールの高さの平均と標準偏差についてまとめると、次の表のようになる。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~&nbsp;|~「おしゃれ」と答えた女子大生|~「普通」と答えた女子大生|
|~標本数|&mimetex(\normalsize n_1 = 24 );|&mimetex(\normalsize n_2 = 48 );|
|~標本平均|&mimetex(\normalsize \bar{x}_1 = 3.67 );|&mimetex(\normalsize \bar{x}_2 = 2.77 );|
|~標本分散|&mimetex(\normalsize {s_1}^2 = 1.79^2 );|&mimetex(\normalsize {s_2}^2 =1.29 ^2 );|

まず、母分散が等しいかどうかを調べるため、等分散の検定をする。
F分布にしたがう、等分散の検定の検定統計量は、次のようになる。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
F_0 &=& \frac{ {1.79}^2 }{ {1.29}^2 } \\[10]
&=& 1.92542\cdots \simeq 1.925
\end{eqnarray}
}}
この値を、第1自由度が &mimetex(\normalsize 24 -1 = 23 ); 、第2自由度が &mimetex(\normalsize 48 - 1 = 47 ); 、有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha =0.05 ); の
'''F''' 値を分布表から調べると、&mimetex(\normalsize F=1.761 ); となる。
検定統計量と比較すると、&mimetex(\normalsize F_0 > F); となり、
2組の標本の母分散は等分散ではないと判断できるので、Welchの検定を用いる。

t分布にしたがう検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); を求めると、
次のようになる。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
t_0 &=& \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} } } \\[10]
&=& \frac{ 3.67 - 2.77 }{ \sqrt{ \frac{ {1.79}^2 }{24} + \frac{ {1.29}^2 }{48} } } \\[10]
&=& \frac{ 3.67 - 2.77 }{ \sqrt{ \frac{ {1.79}^2 }{24} + \frac{ {1.29}^2 }{48} } } \\[10]
&=& 2.82552 \simeq 2.826
\end{eqnarray}
}}

次に、検定のための自由度を求める。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
df &=& \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2  \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1}  \right\} \\[10]
&=& \left( \frac{ {1.79}^2 }{24} + \frac{ {1.29}^2 }{48} \right)^2  \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {1.79}^2 }{24} \right)^2 }{24 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {1.29}^2 }{48} \right)^2 }{48 - 1}  \right\} \\[10]
&=& 40.019
\end{eqnarray}
}}
整数分だけを自由度として採用すると、 &mimetex(\normalsize df = 40 ); となる。

この検定統計量を両側検定で判定する。
有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha =0.05); では、
自由度 &mimetex(\normalsize df = 40); のt値を分布表から調べると、
&mimetex(\normalsize |t_0| > t_{(\alpha/2)}(40) = 2.021); となり、
帰無仮説は棄却される。
つまり、''有意水準 5% で仮説検定を行った結果、''
''「おしゃれ」と答えた人たちと「普通」と答えた人たちとでハイヒールの高さに差がある''。
 
なお、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha =0.01); では、
&mimetex(\normalsize |t_0| > t_{(\alpha/2)}(40) = 2.704 ); となり、
やはり帰無仮説は棄却される。