健康統計の基礎・健康統計学 - 2015/10th/Population_Mean の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2015/10th/Population_Mean へ行く。

TITLE:母平均の区間推定
*母平均の区間推定 [#j49d7c4f]
母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均（母平均）を区間推定する
--大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定
--あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定


**母平均の区間推定の準備 [#yb83ae43]
***標準得点 [#d7539f34]
平均が &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2); の
''正規分布''から、
''標準正規分布''を導くときに、次の式を用いて''標準化''を行う。
#mimetex(){{
z = \frac{ x - \mu }{ \sigma }
}}

このときの &mimetex(\normalsize z); を、
''標準得点''（standardized score）という。
標準得点は、平均が0で分散が1の標準正規分布 &mimetex(\normalsize N(0,1)); にしたがう。

***中心極限定理と標本平均の分布 [#vdc24cb1]
中心極限定理では、
「平均が &mimetex(\normalsize \mu ); で分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); の母集団について、
母集団の分布が正規分布でなくても、
標本の大きさ &mimetex(\normalsize n ); が十分大きい標本を抽出すれば、
標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x} ); の分布は平均が &mimetex(\normalsize \mu ); で分散が &mimetex(\normalsize \frac{\sigma^2}{n} ); の正規分布にしたがう」ことが成り立つ。

ある標本の標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x}_i ); を標準化した分布を考える。
標本平均を標準得点 &mimetex(\normalsize z_i ); に変換すると、次の式になる。
#mimetex(){{
z_i = \frac{ \bar{x}_i - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} } }
}}

***標本平均の分布と信頼区間 [#eb335db6]
標準正規分布にしたがう標本平均の信頼区間について考える。

95%信頼区間は、標本平均を標準化した &mimetex(\normalsize z ); が、-1.96〜1.96の区間を示す。
つまり、信頼度を95%とした95%信頼区間では、
標本平均の存在する範囲は次の式のようになる。
#mimetex(){{
-1.96 < \frac{ \bar{x}_i - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} } } < 1.96
}}
ここで、信頼度を 100(1-α)% とすると、次のように書き換えることができる。
#mimetex(){{
-z_{( \alpha / 2)} < \frac{ \bar{x}_i - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} } } < z_{( \alpha / 2)}
}}

区間推定では、調べたいのは母平均 &mimetex(\normalsize \mu ); の範囲になるので、
上の式を &mimetex(\normalsize \mu ); について解くと、
次の式が得られる。これは「母平均が標本平均±z値×標準誤差の範囲にある」ことを示している。
#mimetex(){{
\bar{x} - z_{( \alpha / 2)} \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + z_{( \alpha / 2)} \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }
}}


**母分散が既知の場合 [#h5f914b9]
-分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); 母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均（標本平均）が  &mimetex(\normalsize \bar{x} ); であるとき
-母平均（母集団の平均） &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{x} - z_{( \alpha / 2)} \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + z_{( \alpha / 2)} \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }
}}
--なお &mimetex(\normalsize z ); は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう
#mimetex(){{
z = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }
}}
--推定量（この場合は標本平均）の分散の平方根を''標準誤差''（SE : Standard Error）といい、次のように表す
#mimetex(){{
SE = sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n } } = \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }
}}
-標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x} ); の分布は正規分布にしたがい（中心極限定理より）、平均は &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{ \sigma^2}{n} ); となる
-標本数が多い場合にも使う



**母分散が未知の場合（t推定） [#j4707223]
-母標準偏差 &mimetex(\normalsize \sigma ); のかわりに、標本標準偏差 &mimetex(\normalsize s ); を用いる
--分散は不偏分散になる
#mimetex(){{
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})
}}

-母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均（標本平均）が  &mimetex(\normalsize \bar{x} ); 、分散（不偏分散）&mimetex(\normalsize s^2 ); がであるとき
-母平均 &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{x} - t_{(\alpha / 2)}(n - 1)  \frac{ s }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + t_{(\alpha / 2)}(n - 1) \frac{ s }{ \sqrt{n} }
}}
--&mimetex(\normalsize t ); は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがい、平均は &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{ s^2}{n} ); となる
#mimetex(){{
t = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ s }{ \sqrt{n} } }
}}
--標準誤差の推定値は &mimetex(\normalsize \sqrt{ \frac{ s^2}{n} } ); となる
--&mimetex(\normalsize t_{(\alpha / 2)}(n - 1) ); は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
-標本数が少ない場合にも用いる
--自由度（すなわち標本数）が増えれば、t分布が標準正規分布 N(0, 1) に近づくので、母分散が既知の場合と同じになる