健康統計の基礎・健康統計学 - 2014/15th/Sign_Test の変更点

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TITLE:符号検定
*符号検定 [#g44746d3]

-中央値の差を検定する手法である
-対応のある2つの標本（調査前と調査後、教育前と教育後など）について、それぞれのデータの対（各組）の大小（または優劣）関係にもとづいて検定する


**検定の対象 [#i36c0164]
対応のある2組の標本（標本数は同じ）について考える。
-例えば、ある教育の前と後の効果、実験の前と後の結果の違いなどを調べる

2つの標本AとBについて、データを表にまとめると次のようになったとする。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~1|~2|~3|~4|~5|~…|~n-1|~n|
|~標本A|5|3|3|4|2|…|2|4|
|~標本B|3|5|1|5|2|…|1|2|

-2つの標本のデータの各組を比較する
--「大きい（または、優れている）」となった組の数を &mimetex(\normalsize n_1 ); とする
--「小さい（または、劣っている）」となった組の数を &mimetex(\normalsize n_2 ); とする
--同じになった組は、検定から除外する

|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~1|~2|~3|~4|~5|~…|~n-1|~n|
|~標本A|5|3|3|4|2|…|2|4|
|~標本B|3|5|1|5|2|…|1|2|
|~A-B|＋|−|＋|−|0|…|＋|＋|

-試行回数が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 ); と見なして考えると、2つの標本の中央値に差がないとすれば、「大きい」と「小さい」となる確率は  &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); となるはず
-標本数を &mimetex(\normalsize N = n_1 + n_2 ); とする


**符号検定（小標本 : 二項検定を利用） [#sc80c31a]
-標本数が少ない場合は、二項検定を利用して、正確な有意確率を求める

***帰無仮説と対立仮説 [#i9abbb97]
対応のある2組の標本の中央値に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の中央値に差はない」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の中央値に差がある」

***検定統計量の算出 [#p360dd81]
-試行回数が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 ); の状況で、帰無仮説が成り立つとすれば「大きい」と「小さい」となる確率は  &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); となるのを利用
-&mimetex(\normalsize n_1 ); と &mimetex(\normalsize n_2 ); の小さい方の値 &mimetex(\normalsize m ); 以下
に対応する符号が出現する確率を求める
#mimetex(){{
m = \min (n_1, n_2)
}}
-二項検定を利用して、次の式から「&mimetex(\normalsize m); 回以下」起きる確率を算出する
#mimetex(){{
P_0 = 2 \sum_{i=0}^m {}_N C_i \left( \frac{1}{2} \right)^2
}}

**仮説の判定 [#e1607938]
-算出した有意確率（P値）と有意水準を比較する
--片側検定
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize P_0 < \alpha);
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize P_0 \geq \alpha);
--両側検定
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize 2P_0 < \alpha);
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize 2P_0 \geq \alpha);


**符号検定（大標本 : 標準正規分布を利用） [#cd5ba662]
-標本数が多い場合は、標準正規分布を利用して検定する

***帰無仮説と対立仮説 [#odd75632]
対応のある2組の標本の中央値に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の中央値に差はない」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の中央値に差がある」

***検定統計量の算出 [#wf6a0a0a]
-標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
z_0 = \frac{ | n_1 -n_2 | }{ \sqrt{ n_1 + n_2 } }
}}
-二項分布は離散型の分布であるため、標準正規分布のような連続型の分布に近似すると、その精度はあまりよくない
-そこで、Yatesの連続補正をすることで、精度をよくする
#mimetex(){{
z_0 = \frac{ | n_1 -n_2 | - 1 }{ \sqrt{ n_1 + n_2 } }
}}

***仮説の判定（両側検定） [#fb3ae6fb]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z(\alpha/2));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z(\alpha/2));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」