健康統計の基礎・健康統計学 - 2014/15th/Independence の変更点

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TITLE:独立性の検定
*独立性の検定 [#s8d7c420]

-2つの変数に関連性があるか、つまり2つの変数の独立性を検定する。
-アンケートの結果の分析などに利用できる、基本的な手法のひとつ。

**分割表（クロス表） [#id28bcfe]
***分割表とは [#k9276f95]
-観測された2つの変数（要因と結果など）を組み合わせた表を、「''分割表（クロス表）''」という
--クロス集計表ともいう
--Excelでは「ピボットテーブル」の機能で作ることができる
-'''k'''行'''l'''列の表からなる分割表を、「'' '''k''' × '''l''' 分割表''」という

|CENTER:40|CENTER:40|CENTER:40|CENTER:40|CENTER:40|CENTER:40|c
|~ |~&mimetex(\normalsize B_1);|~&mimetex(\normalsize B_2);|~…|~&mimetex(\normalsize B_l);|~計|
|~&mimetex(\normalsize A_1);|&mimetex(\normalsize n_{11});|&mimetex(\normalsize n_{12});|…|&mimetex(\normalsize n_{1l});|&mimetex(\normalsize n_{1\cdot});|
|~&mimetex(\normalsize A_2);|&mimetex(\normalsize n_{21});|&mimetex(\normalsize n_{22});|…|&mimetex(\normalsize n_{2l});|&mimetex(\normalsize n_{2\cdot});|
|~…|…|…|…|…|…|
|~&mimetex(\normalsize A_k);|&mimetex(\normalsize n_{k1});|&mimetex(\normalsize n_{k2});|…|&mimetex(\normalsize n_{kl});|&mimetex(\normalsize n_{k\cdot});|
|~計|&mimetex(\normalsize n_{\cdot1});|&mimetex(\normalsize n_{\cdot2});|…|&mimetex(\normalsize n_{{\cdot}l});|&mimetex(\normalsize n);|

-なお、周辺分布（右端の列や最下行の値）は、次のような意味になる。
--標本数 : &mimetex(\normalsize n_{{\cdot}l});
--第 '''i''' 行の標本数 : &mimetex(\normalsize n_{i {\cdot}}); : 
--第 '''j''' 行の標本数 : &mimetex(\normalsize n_{{\cdot} j}); : 
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
n_{i \cdot} &=& \sum_{j=1}^l n_{ij} \\
n_{\cdot j} &=& \sum_{i=1}^k n_{ij} \\
n &=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l n_{ij} \\
\end{eqnarray}
}}

***期待度数 [#fe71f223]
-分割表の各セルの期待値は、周辺分布の値から、次のように計算する。
-- '''i''' 行 '''j''' 列のセルの期待値 : &mimetex(\normalsize e_{ij});
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
e_{ij} &=& n \times \frac{ n_{i \cdot} }{n} \times \frac{ n_{{\cdot} j} }{n} \\
&=& \frac{ n_{i \cdot} n_{{\cdot} j} }{ n }
\end{eqnarray}
}}

**独立性の検定（2×2より大きい表の場合 : 自由度 '''df''' >1） [#bd79672a]
-2行2列より大きい分割表の場合は、カイ二乗（&mimetex(\normalsize \chi^2 ); ）分布を利用して検定する

***帰無仮説と対立仮説 [#z16fb68b]
2つの変数が独立であるか（関連がないか）を調べるを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2つの変数は独立である（関連がない）」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2つの変数は独立ではない（関連がある）」

***検定統計量の算出 [#pb6e4893]
-自由度 &mimetex(\normalsize (k-1) \times (l-1) ); のカイ二乗（&mimetex(\normalsize \chi^2 ); ）分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize {\chi_0}^2 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
{\chi_0}^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l \frac{( n_{ij} - e_{ij} )^2}{ e_{ij} }
}}

***仮説の判定（両側検定） [#q5beac9b]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize {\chi_0}^2 ); と、自由度 &mimetex(\normalsize df = (k-1) \times (l-1) ); 、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（カイ二乗分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |{\chi_0}^2| > \chi^2);
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |{\chi_0}^2| < \chi^2);
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」


**独立性の検定（2×2表の場合 : 自由度 '''df''' =1） [#r29b9f97]

-2行2列の分割表の場合は、直接確率を計算するか、カイ二乗（&mimetex(\normalsize \chi^2 ); ）分布に近似した検定統計量で検定する
--フィッシャー(Fisher)の直接確率法
---標本数が20未満、または標本数が40未満で最小期待値が5未満の場合
--イェーツ(Yates)の連続補正 
---標本数が40未満で、フィッシャーの直接確率法の条件を満たさない場合
-ここでは、Yatesの連続補正について説明する

***帰無仮説と対立仮説 [#gcb38bd2]
2つの変数が独立であるか（関連がないか）を調べるを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2つの変数は独立である（関連がない）」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2つの変数は独立ではない（関連がある）」

***2×2分割表 [#qa24329e]
-観測値による分割表を、次のようにあらわす
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~&nbsp;|~要因1|~要因2|~計|
|~結果A|&mimetex(\normalsize a);|&mimetex(\normalsize b);|&mimetex(\normalsize a+b );|
|~結果B|&mimetex(\normalsize c);|&mimetex(\normalsize d);|&mimetex(\normalsize c+d );|
|~計|&mimetex(\normalsize a+c );|&mimetex(\normalsize b+d );|&mimetex(\normalsize a+b+c+d =n);|

-期待値による分割表は、次のような表になる
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~&nbsp;|~要因1|~要因2|~計|
|~結果A|&mimetex(\normalsize (a+b) \times \frac{a+c}{n});|&mimetex(\normalsize (a+b) \times \frac{b+d}{n});|&mimetex(\normalsize a+b );|
|~結果B|&mimetex(\normalsize (c+d) \times \frac{a+c}{n});|&mimetex(\normalsize (c+d) \times \frac{b+d}{n});|&mimetex(\normalsize c+d );|
|~計|&mimetex(\normalsize a+c );|&mimetex(\normalsize b+d );|&mimetex(\normalsize a+b+c+d =n);|

***検定統計量の算出 [#obd393b1]
-2×2分割表では、次の式のような簡便な方法から、自由度 &mimetex(\normalsize (2-1) \times (2-1) =1 ); のカイ二乗（&mimetex(\normalsize \chi^2 ); ）分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize {\chi_0}^2 ); を次の式から算出できる
#mimetex(){{
{\chi_0}^2 = \frac{ \left( ad-bc \right)^2 n }{ (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) }
}}
-しかし、この方法では、計算した値が実際の &mimetex(\normalsize \chi^2 ); 分布とずれてしまうことがわかっている
--理由は、 &mimetex(\normalsize \chi^2 ); 分布は連続的にもかかわらず、計算した検定統計量は離散的だから
-そこで、Yatesの連続補正を使って補正した、検定統計量 &mimetex(\normalsize {\chi_{0c}}^2 ); を用いる
--原則として、2×2分割表ではYatesの連続補正を使うと考えてよい
#mimetex(){{
{ \chi_{0c} }^2 = \frac{ \left( |ad-bc| - \frac{n}{2} \right)^2 n }{ (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) }
}}

***仮説の判定（両側検定） [#xcb75dd9]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize {\chi_{0c}}^2 ); と、自由度 &mimetex(\normalsize df = (2-1) \times (2-1) = 1 ); 、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（カイ二乗分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |{\chi_{0c}}^2| > \chi^2);
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |{\chi_{0c}}^2| < \chi^2);
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」