健康統計の基礎・健康統計学 - 2014/14th/Rate_Test の変更点

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TITLE:比率の差の検定
*比率の差の検定 [#h17938b0]

比率の差の検定には、次の2つの方法がある。
-正規分布に近似して検定
-独立性の検定（ &mimetex(\normalsize \chi^2 ); 検定）

ここでは、正規分布に近似する方法を説明する。

**検定の対象 [#i7e1be8c]
2組の標本のについて考える。それぞれの統計量は次のとおり。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~標本1|~標本2|
|~標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );|
|~事象が起こる回数|&mimetex(\normalsize r_1 );|&mimetex(\normalsize r_2 );|
|~標本比率|&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{r_1}{n_1} );|&mimetex(\normalsize p_2 = \frac{r_2}{n_2} );|


**正規分布に近似する方法 [#w074a688]
この方法を使って、標本比率の差を検定するには、次の2つの条件を満たさないといけない
-&mimetex(\normalsize n_1 p_1 > 5 , \hspace{8} (p_1 < 1 - p_1)); 、または &mimetex(\normalsize n_1 > 25 );
-&mimetex(\normalsize n_2 p_2 > 5 , \hspace{8} (p_2 < 1 - p_2)); 、または &mimetex(\normalsize n_2 > 25 );

***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75]
2組の標本の比率に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の比率に差はない」 : &mimetex(\normalsize p_1 = p_2 (= p) );
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の比率に差がある」 :  &mimetex(\normalsize p_1 \neq p_2);

***検定統計量の算出 [#ced84f2a]
-母比率の推定値 &mimetex(\normalsize \hat{p} ); を求める
#mimetex(){{
\hat{p} = \frac{ n_1 p_1 + n_2 p_2 }{ n_1 + n_2 }
}}
-標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
z_0 = \frac{ p_1 - p_2 }{ \sqrt{ \hat{p} ( 1 - \hat{p} ) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) } }
}}

***仮説の判定（両側検定） [#q81f9f97]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z_{(\alpha/2)});
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」「比率に差がある」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z_{(\alpha/2)});
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「比率に差があるとはいえない」


**例題 [#q2dfd202]
-男性有権者の中から1,200人、女性有権者の中から900人を選んで、内閣の支持者の数を調べた結果、それぞれ432人と276人であった。男性と女性間で支持率に差があるといえるか？

***考え方 [#a85c8978]
男女それぞれ有権者について、それぞれの人数や支持者の数についてまとめると、次の表のようになる。

|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~&nbsp;|~男性有権者|~女性有権者|
|~標本数|&mimetex(\normalsize n_1 =1200 );|&mimetex(\normalsize n_2 = 900 );|
|~事象が起こる数|&mimetex(\normalsize r_1 =432 );|&mimetex(\normalsize r_2 =276 );|
|~標本比率|&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{r_1}{n_1} = 0.36 );|&mimetex(\normalsize p_2 = \frac{r_2}{n_2} = 0.30666\cdots );|

男女それぞれ有権者について、内閣支持率に差があるかどうか調べたいので、
帰無仮説と対立仮説は、次のようになる。
-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} );  : 「男性と女性とで内閣支持率に差はない」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} );  : 「男性と女性とで内閣支持率に差がある」

まず、母比率の推定値 &mimetex(\normalsize \hat{p} ); を求める
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\hat{p} &=& \frac{ n_1 p_1 + n_2 p_2 }{ n_1 + n_2 } \\[10]
&=& \frac{ 1200 \times 0.36 + 900 \times 0.30666\cdots }{ 1200 + 900 } \\[10]
&=& \frac{ 432 + 276 }{ 2100 } = 0.33714\cdots \simeq 0.3371
\end{eqnarray}
}}

したがって、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を求めると、
次のようになる。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
z_0 &=& \frac{ p_1 - p_2 }{ \sqrt{ \hat{p} ( 1 - \hat{p} ) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) } } \\[10]
&=& \frac{ 0.36 - 0.30666\cdots }{ \sqrt{ 0.3371 \times ( 1 - 0.3371 ) \left( \frac{1}{1200} + \frac{1}{900} \right) } } \\[10]
&=& 2.55849\cdots \simeq 2.558 
\end{eqnarray}
}}

この検定統計量を両側検定で判定すると、
有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha =0.05); では、
&mimetex(\normalsize |z_0| = 2.558 > z_{(\alpha/2)} = 1.960 ); となり、
帰無仮説は棄却される。
つまり、''有意水準 5% で仮説検定を行った結果、''
''男性と女性とで内閣支持率に差がある''。

なお、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha =0.01); では、
&mimetex(\normalsize |z_0| = 2.558 < z_{(\alpha/2)} = 2.567 ); となり、
帰無仮説は棄却できない。
つまり、男性と女性とで内閣支持率に差があるとはいえない。