健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/9th/Permutation_Combination の変更点

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TITLE:順列と組み合わせ
*順列と組み合わせ [#b6b6b175]

**階乗（factorial） [#f73ee4ca]
-ある数 n から１ずつ少ない数を掛けあわせることを「''階乗''」という
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
n! &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
\end{eqnarray}
}}

-なお、0（ゼロ）の階乗は、便宜上、1である。

**順列 (Permutation) [#wbef77be]
-異なる n 個のものから r 個を選んだ「''並べ方''」を、
n 個から r 個をとる「''順列''」という
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_n \mathrm{P}_r &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - r + 1) \\
_n \mathrm{P}_r &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - r + 1) \\[10]
&=& \frac{ n! }{ (n-r)! }
\end{eqnarray}
}}
-n 個から n 個をとる順列
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_n \mathrm{P}_n &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 = n!
\end{eqnarray}
}}
-7 個から 3 個をとる順列
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_7 \mathrm{P}_3 &=& 7 \times 6 \times 5 = 210
\end{eqnarray}
}}

-また次のようなことがいえる（n 個から0個をとる順列）
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_n \mathrm{P}_0 &=& 0
\end{eqnarray}
}}

**組み合わせ (Combination) [#nc880cee]
-異なる n 個のものから r 個を選ぶときの組み合わせを、
n 個から r 個をとる「''組み合わせ''」という
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_n \mathrm{C}_r &=& \frac{ _n \mathrm{P} _r }{ r! } \\
&=& \frac{ n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - r + 1) }{ r! } \\
_n \mathrm{C}_r &=& \frac{ _n \mathrm{P} _r }{ r! } \\[10]
&=& \frac{ n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - r + 1) }{ r! } \\[10]
&=& \frac{ n! }{ r! (n-r)! }
\end{eqnarray}
}}
-4 個から 3 個をとる組み合わせ
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_4 \mathrm{C}_3 &=& \frac{ 4 \times 3 \times 2 }{ 1 \times 2 \times 3 } = 4
\end{eqnarray}
}}
-なぜ &mimetex(\normalsize {}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{P}_r / r! ); となるか？
--{a, b, c, d, e} の5つから {a, b, c} の3つを選ぶ場合を考えると…
---順列は次の 3!=6 通りとなる &br;
{a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a}
---組み合わせでは順序を考えないので、順列の結果を選び出した3つの場合の数 3!=6 で割ってやればよい

-また次のようなことがいえる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
_n \mathrm{C}_0 &=& 1 \\[10]
_n \mathrm{C}_1 &=& n \\[10]
_n \mathrm{C}_n &=& 1 \\[10]
_n \mathrm{C}_r &=& _n \mathrm{C}_{n-r}
\end{eqnarray}
}}