健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/15th/Population_Rate の変更点

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TITLE:母比率の検定
*母比率の検定 [#g44746d3]

母比率の検定では、「''母比率と標本比率との差の程度''」を調べる。
-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「母比率と標本比率が等しい」 : &mimetex(\normalsize p = \hat{p});
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「母比率と標本比率が等しくない」 :
--両側検定の場合は &mimetex(\normalsize p \neq \hat{p});
--片側検定の場合は &mimetex(\normalsize p < \hat{p}); または &mimetex(\normalsize p > \hat{p}); 


**二項検定 [#b25eafda]
-二項定理を使って、母比率に対する標本比率の統計値を直接計算し、有意水準と比較する
-理論的には正当な方法だが計算が複雑なため、コンピュータによる統計処理が登場するまでは、正規分布に近似する方法（後述）などが使われていた。

***考え方 [#uc065470]
-母比率 &mimetex(\normalsize p_0 ); の事象を、&mimetex(\normalsize n); 回試行するとき、
-&mimetex(\normalsize r); 回起きる確率は次のようになる
#mimetex(){{
P_r = {}_n \mathrm{C}_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r}
}}
-「&mimetex(\normalsize r); 回以上」起きる確率は、次のような確率の和から算出できる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
P &=& {}_n \mathrm{C}_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r} + {}_n \mathrm{C}_{r+1} {p_0}^{r+1} (1 - {p_0})^{n-r+1} + \cdots + {}_n \mathrm{C}_n {p_0}^n (1 - {p_0})^{0} \\
&=& \sum_{i=r}^{n} {}_n \mathrm{C}_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\
&=& 1 - \sum_{i=0}^{r-1} {}_n \mathrm{C}_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\
P &=& {}_n \mathrm{C}_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r} + {}_n \mathrm{C}_{r+1} {p_0}^{r+1} (1 - {p_0})^{n-r+1} + \cdots + {}_n \mathrm{C}_n {p_0}^n (1 - {p_0})^{0} \\[10]
&=& \sum_{i=r}^{n} {}_n \mathrm{C}_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\[10]
&=& 1 - \sum_{i=0}^{r-1} {}_n \mathrm{C}_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\[10]
\end{eqnarray}
}}
-算出した確率（p値）と有意水準を比較する
--片側検定
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize P < \alpha);
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize P \geq \alpha);
--両側検定
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize 2P < \alpha);
---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize 2P \geq \alpha);

**正規分布に近似 [#bed6ea64]
-特定の条件の時にだけ使える方法である
--標本数を &mimetex(\normalsize n ); 、母比率を &mimetex(\normalsize p_0 ); とするとき、
-- &mimetex(\normalsize np_0 > 5 , \hspace{8} p_0 < 1 - p_0 ); 、または、 &mimetex(\normalsize n > 25); の場合

***考え方 [#qd2e8eba]
-標本の値を &mimetex(\normalsize x ); 、標本比率を &mimetex(\normalsize \hat{p_0} = \frac{x}{n} ); とする
-標準正規分布に近似される、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
z_{0} = \frac{ \hat{p_0} - p_0 }{ \sqrt{ \frac{ p_0 (1 - p_0) }{ n } } } 
}}
-検定統計量 &mimetex(\normalsize z_{0} ); を使って判定をする

***連続補正をする場合 [#a117ad7f]
-二項分布は離散型の分布であるため、正規分布のような連続型の分布に近似すると、その精度はあまりよくない
-そこで、連続補正（イエーツ(Yates)の補正）をすることで、精度をよくする
#mimetex(){{
z_{0c} = \frac{ |x - np_0| - 0.5 }{ \sqrt{np_0 (1 - p_0)} } 
}}
-補正した検定統計量 &mimetex(\normalsize z_{0c} ); を使って判定をする