健康統計の基礎・健康統計学 - 2010/8th/Normal_Distribution の変更点

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TITLE:正規分布と関連する分布
*正規分布と関連する分布 [#a27afff9]

自然界や一般に観察できる多くのものについて、
その分布は、平均値を中心に左右対称の''釣り鐘状''の分布になっていることがあります。
-生物現象、毎年の雨量など
-身長や体重、標準的なテストの成績など

**正規分布 (normal distribution) [#o636d31d]
***正規分布とは [#ie06ba92]
-平均値を中心とした左右対称の釣り鐘状になる分布を、「''正規分布''」という
#mimetex(){{
f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma } e^{ \frac{ (x - \mu)^2 }{ 2 \sigma^2 } }
}}
--&mimetex(\normalsize \pi ); は円周率で、&mimetex(\normalsize \pi=3.14159\cdots ); 
--&mimetex(\normalsize e ); は自然対数の底で、&mimetex(\normalsize e=2.71828\cdots ); 
--&mimetex(\normalsize \mu ); : 平均値
--&mimetex(\normalsize \sigma ); : 標準偏差
--&mimetex(\normalsize \sigma^2 ); : 分散
-確率密度関数が上の式になるとき、『&mimetex(\normalsize x ); は、平均が &mimetex(\normalsize \mu ); で標準偏差が &mimetex(\normalsize \sigma); の正規分布にしたがう』といい、&mimetex(\normalsize N(\mu, \sigma^2) ); と表す
--つまり、平均値と分散（標準偏差）から分布が決まる
-さまざまな推定や検定に使われる

***正規分布の特徴 [#k2b2a4fd]
-分布の中心は平均値 &mimetex(\normalsize \mu ); で、最も高い値（極大値）をとる
--平均値が変化すると、分布が左右に移動する
-&mimetex(\normalsize \mu \pm \sigma); で変曲点（曲線の凹凸の変わり目）になる
--標準偏差が変化すると、分布の高さや広がりが変化する
-平均値、中央値、最頻値は一致する
-平均値と標準偏差から、分布の割合（曲線とx軸に囲まれる面積）が決まる
--&mimetex(\normalsize \mu \pm \sigma); の範囲 : 全体の約 68.24% を含む
--&mimetex(\normalsize \mu \pm 2 \sigma); の範囲 : 全体の約 95.44% を含む
--&mimetex(\normalsize \mu \pm 3 \sigma); の範囲 : 全体の約 97.73% を含む
--それ以外の範囲 : 全体の約 0.27% を含む


**標準正規分布 [#xb5ab807]

***標準正規分布とは [#q6ad609c]
-正規分布で、平均値が 0 、標準偏差が 1 になるように、正規分布の確率密度関数の変数 &mimetex(\normalsize x ); を次のように変換する（変数変換）
#mimetex(){{
z = \frac{ x - \mu }{ \sigma }
}}
-すると、標準偏差の式は次のように変形される
#mimetex(){{
f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{ \frac{ z^2 }{ 2 } }
}}
-確率密度関数が上の式になるとき、『 &mimetex(\normalsize x ); は、標準正規分布にしたがう』という
--『 &mimetex(\normalsize z ); は、平均が 1 で標準偏差が 0 の正規分布にしたがう』ことになり、&mimetex(\normalsize N( 0, 1^2 ) ); と表すことができる
--『 &mimetex(\normalsize z ); は、平均が 0 で標準偏差が 1 の正規分布にしたがう』ことになり、&mimetex(\normalsize N( 0, 1^2 ) ); と表すことができる
--つまり、変数だけから分布が決まる
--さまざまな推定や検定に使われる

***標準化（基準化）(standardization) [#r25f4866]
-先ほどの変数変換を、「''標準化''」まはた「基準化」という
#mimetex(){{
z = \frac{ x - \mu }{ \sigma }
}}
-（感覚としては）分布を平均値の分だけ 0 まで移動し、分布の広がりを &mimetex(\normalsize \frac{1}{\sigma} ); にする
--単位の異なるデータや平均値・分散が異なるデータを比較するときに使う（英語と数学のテストの成績の比較）
-ちなみに''偏差値''は、標準化を応用したもので、次のような式になる
#mimetex(){{
z = 50 + 10 \times \frac{ x -\mu }{ \sigma }
}}

***標準正規分布の特徴 [#qcce0b30]
-基本的な特徴は、正規分布と同じ
-分布の曲線とx軸で囲まれた全体の面積は1になり
--すなわち、面積が確率（割合）を表すことになる


**カイ二乗分布 [#ydd9c35a]
***カイ二乗分布とは [#d0bb31bd]
-変数 &mimetex(\normalsize z_n ); が標準正規分布にしたがい、互いに独立であるとする
-次のようになるとき、『 &mimetex(\normalsize z ); は、自由度 &mimetex(\normalsize r ); のカイ二乗（ &mimetex(\normalsize \chi^2 ); ）分布にしたがう』という
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\chi^2 &=& {z_1}^2 + {z_2}^2 + \cdots + {z_r}^2 \\
&=& \sum_{i=1}^r { z_i }^2 \\
&=& \sum_{i=1}^r \left\( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right\)^2
\end{eqnarray}
}}
--自由度とは分布の形状に影響を及ぼす値で、自由度の値が変わると分布の形状も変化する

***カイ二乗分布の特徴 [#p9def579]
-平均は &mimetex(\normalsize r ); 、分散は &mimetex(\normalsize 2r ); になる
-適合度や独立性の検定など、分散の推定や検定に利用される
-自由度が大きくなると、対称な分布に近づく

**t分布 [#t303c39c]
***t分布とは [#f30ad746]

-標準正規分布にしたがう確率変数 &mimetex(\normalsize x ); と、自由度 &mimetex(\normalsize r ); のカイ二乗分布 &mimetex(\normalsize {\chi_r}^2 ); にしたがう確率変数 &mimetex(\normalsize y ); があり、互いに独立であるとする
-次のようになるとき、『 &mimetex(\normalsize x ); は、自由度 &mimetex(\normalsize r ); のt分布にしたがう』という
#mimetex(){{
t = \frac{ x }{ \sqrt{ \frac{ {\chi_r}^2 }{r} } }
}}
-（感覚としては）正規分布にしたがう統計量を標準化したものの分布を表す
-この分布を発表した William Gosset のペンネームから「スチューデント（Student）のt分布」とも呼ぶ

***t分布の特徴 [#c32df38a]
-平均は 0 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{r}{r-2} ); になる
-自由度が大きくなると、正規分布に近づく
--自由度が小さいときは、正規分布よりも裾の長い分布になる
-母平均の推定や検定、平均値の差の検定や検定など、多くの統計的推定で利用される


**F分布 [#xab38cea]
***F分布とは [#n988faf9]
-確率変数 &mimetex(\normalsize x ); と確率変数 &mimetex(\normalsize y ); が、
それぞれ自由度 &mimetex(\normalsize m ); と &mimetex(\normalsize n ); のカイ二乗分布にしたがい、互いに独立であるとする
-次のようになるとき、『 &mimetex(\normalsize x ); は、第一自由度が &mimetex(\normalsize m ); で第二自由度が &mimetex(\normalsize n ); のF分布にしたがう』という
#mimetex(){{
F = \frac{ {\chi_m}^2 }{m} \middle/ \frac{ {\chi_n}^2 }{n} 
}}
-（感覚としては）分散の比率についての分布を表す

***F分布の特徴 [#p0534ee7]
-2つの自由度を持つ
-分散検定や分散分析（分散比の分布を調べる）に利用される
-平均は &mimetex(\normalsize \frac{n}{n-2} ); 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{ 2n^2 (m+n-2) }{ m (n-2)^2 (n-4)} ); になる