健康統計の基礎・健康統計学 - 2010/3rd/Dispersion の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2010/3rd/Dispersion へ行く。

TITLE:散布度
*散布度（dispersion） [#pb8170c7]
-代表値のほかに、重要な特性値として「''散布度''」がある。
-平均値に対して、''どれくらいデータが散らばっているか''を示す。
--分布の裾の広がり具合
--平均値への集中の度合い

**標準偏差 [#ybb7d5b1]
***偏差（diviation） [#o008acb2]
-偏差 &mimetex(\normalsize D); は、各データと平均との差である。
--＋の偏差と−の偏差があるため、すべての偏差の合計は0になる。
#mimetex(){{
D_i = \bar{x} - x_i
}}

***分散(variance)と標準偏差(standard deviation) [#n79494b7]
分析対象となる全体（母集団）の分布のバラつきの度合い求める場合には、
代表的な散布度である、分散と標準偏差を用いる。

-分散 &mimetex(\normalsize s^2);（または &mimetex(\normalsize \delta^2);）は、''偏差平方和''（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたものである。
-分散 &mimetex(\normalsize s^2);（または &mimetex(\normalsize \sigma^2);）は、''偏差平方和''（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたものである。
--全データの平均からのバラツキの程度を示す。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
s^2 &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2  \\
 &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n D_i
\end{eqnarray}
}}

-標準偏差 &mimetex(\normalsize s); は、分散の平方根を求めたものである。
--全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
#mimetex(){{
s = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n} }
}}

-標準偏差や分散の値が大きい場合はデータのバラつきが大きく、小さい場合はバラつきが小さい（データが同じ程度に揃ってる）

***不偏分散（unbiased variance）と不偏標準偏差（unbiased standard diviation） [#eb4658eb]
分析対象となる全体（母集団）ではなく、
対象の一部分（標本）の分布のバラつきの度合い求める場合には、
不偏分散と不偏標準偏差を用いる。

-不偏分散 &mimetex(\normalsize U^2); は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたものである。
--分散との違いは、分母は「標本数-1」であること。
--データ全体についての平均値からのバラツキの程度を示す。
#mimetex(){{
U^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2
}}

-不偏標準偏差&mimetex(\normalsize U);は、分散の平方根を求めたもの
--全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
#mimetex(){{
U = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1} }
}}


**標準偏差の和 [#hf1fdb2e]
&mimetex( n ); 組の資料（データ）があるとき、
資料全体の標準偏差は次のようになる。

#mimetex(){{
s_{T}=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{n}N_{i}\left(\ V_{i}+D_{i}^2 \right)}{\sum_{i=1}^{n}N_i} }
}}

--&mimetex(\normalsize s_{T}); …全体の標準偏差
--&mimetex(\normalsize N_i); …'''i'''組目の資料の標本数
--&mimetex(\normalsize V_i); …'''i'''組目の資料の分散
--&mimetex(\normalsize D_i); …'''i'''組目の資料の偏差

**範囲（range） [#b1119e4a]
-範囲 &mimetex( R ); は、データの最大値 &mimetex(\normalsize x_{max}); と最小値 &mimetex(\normalsize x_{min}); との差で、データ全体の範囲を示す。
-ハズレ値の影響を受けやすい
#mimetex(){{
R = x_{max} - x_{min}
}}

**四分位偏差（quartile deviation） [#c2bd3404]
-四分位偏差はデータの変動の目安に利用される散布度で、代表値として中央値を用いたときに使われることがある。
-ハズレ値やデータ数に影響されにくい値である。
#pre{{
　四分位偏差=(第3四分位数-第1四分位数）/2
}}


**平均偏差（mean deviation） [#w0852639]
-平均偏差 &mimetex(\normalsize M_{dev}); は、偏差の絶対値を平均したもので、データと平均値とのずれの程度を示す。 
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
M_{dev} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| x_i - \bar{x} \right| \\
 &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| D_i \right|
\end{eqnarray}
}}

**変異係数（coefficient of variance） [#k8290ec8]
-変異係数（変動係数） &mimetex( Cv ); は、標準偏差を平均で割ったもので、平均値に対する標準偏差の割合を示す（％表示）。
-変異係数は相対的な散布度（割合を示す無名数で単位はない）で、平均値や標準偏差の異なる複数の種類のデータを比較するときに用いる。
#mimetex(){{
Cv = s / \bar{x}
}}

-2つの系列（データの集まり）を比較するとき、次のような場合は相対的散布度が有利になる。
--双方の単位が同じで、平均がほぼ等しい
--双方の単位は同じだが、平均が違う
--双方の単位が違う