健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/4th/Correlation の変更点

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TITLE:相関
*相関 (correlation) [#p86b56d9]
2種類のデータのあいだになんらかの関係がある場合、
統計学的な関係がみられるときに、「''相関がある''」という。
-データの大小に関して、一方の値が変わるにつれて、もう一方の値も変わる
--身長と体重
--収縮期血圧と拡張期血圧

**相関係数 (correlation coefficient) [#z9c93011]

***相関の種類 [#te624a4e]
-線形相関：相関（関係）を示すグラフが1本の直線で近似できる
--順相関：相関が正の場合（グラフが右肩あがりの直線）
--逆相関：相関が負の場合（グラフが右肩さがりの直線）
-非線形相関：相関を示すグラフが指数関数や2次・3時間数のように直線状をしていない

***相関係数（ピアソンの積率相関係数） [#e73696e0]
-相関係数（ピアソン(Pearson)の積率相関係数） &mimetex(\normalsize r); は、相関の程度をあらわし、次の値をとる。
#mimetex(){{
-1 \leq r \leq +1
}}
--完全相関：相関係数が±1の場合
--無相関：相関係数が0の場合

-相関係数 &mimetex(\normalsize r); は、次の式で求められる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{1}{n} \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{s_x s_y} \\
&=& \frac{1}{n} \frac{ S_{xy} }{s_x s_y}
\end{eqnarray}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--標準偏差: &mimetex(\normalsize s_x); , &mimetex(\normalsize s_y); 
--偏差積和（偏差の積の合計）：
#mimetex(){{
\normalsize\displaystyle S_{xy} = \sum_{i=1}^n d_x \cdot d_y = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
}} 
-または、次の式でも求められる（統計量だけから計算できる）
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ \sum x_i y_i }{n} - \bar{x} 
r &=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ \sum x_i y_i }{n} - \bar{x} \right) \\
&=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ T_{xy} }{n} - \bar{x} 
\bar{y} \right)
\end{eqnarray}
}}
--積和（2変数の積の合計）：
#mimetex(){{
T_{xy} = \sum_{i=1}^n x_i y_i
}} 

***偏差積和 [#u3fa642f]
-偏差積和（偏差の積和）&mimetex(\normalsize S_{xy}); とは、偏差（各データと平均の差）の積の総和である。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
S_{xy} &=& \sum_{i=1}^n d_x d_y \\
&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
\end{eqnarray}
}} 
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--偏差: &mimetex(\normalsize d_x); , &mimetex(\normalsize d_y); 


***共分散 [#u8d2f203]
-共分散 &mimetex(\normalsize s_{xy}); は、偏差積和を標本数で割ったもの。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
s_{xy} &=& \frac{1}{n} S_{xy} \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_x \cdot d_y
\end{eqnarray}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--偏差: &mimetex(\normalsize d_x); , &mimetex(\normalsize d_y); 
-共分散を使うと、相関係数は次のようになる。
#mimetex(){{
r = \frac{ s_{xy} }{s_x s_y}
}}

***偏差平方和 [#pb2e9cd9]
-偏差平方和：&mimetex(\normalsize S_{xx}); は、偏差の二乗の合計を計算したもの
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
S_{xx} &=& \sum_{i=1}^n {d_x}^2 \\
&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
\end{eqnarray}
}} 
-偏差平方和を使うと、相関係数は次のようになる。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{ S_{xy} }{ \sqrt{ S_{xx} S_{yy} } } \\
&=& \frac{ \sum (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum (x_i - \bar{x})^2 \sqrt{ \sum (y_i - \bar{y})^2} } }
\end{eqnarray}
}}


**相関関係と因果関係 [#q9f18fc2]

***相関関係から因果関係を確定するときの注意点 [#fdb8b64d]
+関連の時間性
--原因は結果の前にあるか
+関連の密接性
--原因が結果に密接に関連するか
+関連の特異性
--原因が結果のは性にどの程度かかわっているか
+関連の普遍性
--対象や時期、方法などが異なっていても、類似した結果が得られるか
+関連の合理性
--従来の理論や経験から考えて矛盾がないか

***疑似相関（見かけの相関） [#c90ac778]
-直接の相関はないが何かある要因が2つの事象と相関しているために、
2つの事象に相関がみられるケースがある。
-相関関係があるからといって、それが必ずしも因果関係であるとは限らない場合がある。
--「ビアホールでの1日当たりの生ビールの売り上げ数」と「アイスクリーム店のお客の数」
--「進行性の疾患をもつ患者の疾患についての知識」と「その疾患の進行度」

***相関の程度 [#o7e4fcdb]
相関係数の値から、相関の程度を次のように記述できる。

|CENTER:|LEFT:|c
|-1.0≦相関係数'''r'''<-0.7|強い負の相関|
|-0.7≦相関係数'''r'''<-0.4|かなりな負の相関|
|-0.4≦相関係数'''r'''<-0.2|やや負の相関|
|-0.2≦相関係数'''r'''≦0.2|ほとんど相関がない|
|0.2<相関係数'''r'''≦0.4|やや正の相関|
|0.4<相関係数'''r'''≦0.7|なかりな正の相関|
|0.7<相関係数'''r'''≦1|強い正の相関|

なお、標本数が少ない場合は、母相関係数の推定や検定（後日説明）が必要となる。

**順位相関係数 [#sa466d65]
-相関がない場合や順位に意味がある・順位だけしかわからない場合には、順位データ（データを小さいほうから並べた順位）をもとに相関を求めてみる。
--英語のテストの順位と数学のテストの順位の相関
--薬と奇形児発生の相関
--2つの銘柄の株価の相関
-スピアマン（Spearman）の順位相関係数 &mimetex(\normalsize r_s); は、
相関係数と同様、次の値をとる。
#mimetex(){{
-1 \leq r_s \leq +1
}}
-同一順位の場合は、次のように扱う（平均順位）
--2位が2つある場合：2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする
--4位が3つある場合：4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする
-順位相関係数は、次のようにして求められる。
#mimetex(){{
r_s = 1 - \frac{ 6 \sum_{i=1}^n d_i^2 }{n^3 - n}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n);
--'''i'''番目の順位差: &mimetex(\normalsize d_i);