健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/12th/Unpaired_tTest の変更点

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TITLE:対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知だが等しい）
*対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知だが等しい） [#aa9e5179]

**検定の対象 [#i36c0164]
対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。
ただし、母分散の値はわからない。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~母集団1|~母集団2|
|~母平均|&mimetex(\normalsize \mu_1);|&mimetex(\normalsize \mu_2);|
|~標本の標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );|
|~標本平均|&mimetex(\normalsize \bar{x}_1 );|&mimetex(\normalsize \bar{x}_2 );|
|~標本分散|&mimetex(\normalsize {s_1}^2 );|&mimetex(\normalsize {s_2}^2 );|


**等分散の検定（F検定） [#m757343b]
まず、未知の2組の母分散が等しいかどうかを調べる。
+2組の標本の不偏分散について、次のようにあらわす
--値の大きいほうの標本 : 不偏分散 &mimetex(\normalsize {S_1}^2 ); 、標本数 &mimetex(\normalsize n_1 );
--値の小さいほうの標本 : 不偏分散 &mimetex(\normalsize {S_2}^2 ); 、標本数 &mimetex(\normalsize n_2 );
+F分布にしたがう、等分散の検定の検定統計量 &mimetex(\normalsize F_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
F_0 = \frac{ {S_1}^2 }{ {S_2}^2 }
}}
--この式は、標本分散の比率から母分散の比率を推測することを意味している
+第1自由度が &mimetex(\normalsize n_1 -1 ); 、第2自由度が &mimetex(\normalsize n_2 - 1 ); 、有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点 '''F''' の値と、検定統計量を比較する
--&mimetex(\normalsize F_0 < F); ならば、母分散は未知で「等しい」&br;→ '''t'''検定で調べる
--&mimetex(\normalsize F_0 \geq F); ならば、母分散は未知で「等しくない」&br;→ Welchの検定で調べる


**'''t'''検定 [#h1a6969b]
-標本数の和が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 < 100); の場合にも使われることがある

***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75]
対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の母集団の平均に差はない」 : &mimetex(\normalsize \mu_1 = \mu_2);
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の母集団の平均に差がある」 :  &mimetex(\normalsize \mu_1 \neq \mu_2);

***検定統計量の算出 [#ced84f2a]
-標本分散から、全体の分散（母分散 &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); の不偏推定量）を推測する
#mimetex(){{
{s_p}^2 = \frac{(n_1 - 1){s_1}^2 + (n_2 - 1){s_2}^2}{ n_1 + n_2 -2 }
}}
-標本平均の差の分散は、母分散を使って、次のように推測される
#mimetex(){{
\sigma_{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }^2 = \sigma^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)
}}
-母分散 &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); を不偏推定量 &mimetex(\normalsize {s_p}^2 ); で代用し、t分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
t_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ {s_p}^2 } \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }
}}

**仮説の判定（両側検定） [#q81f9f97]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); と、自由度 &mimetex(\normalsize df = n_1 + n_2 -2 ); 、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（t分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |t_0| > t(n_1 + n_2 -2 , \alpha/2));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |t_0| < t(n_1 + n_2 -2 , \alpha/2));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」


**例題 [#yd4273d1]
-2つの銘柄のたばこのニコチン含有量について調べた結果、銘柄Aの10本については平均27.0mg、標準偏差1.7mgであった。また、銘柄Bの7本については平均29.3mg、標準偏差1.9mgであった。この2つの銘柄の間でニコチンの含有量に差はあるか？