TITLE:母比率の推定 *母比率の推定 [#zd6688f2] 母集団から抽出した標本をもとに母集団の比率(母比率)を区間推定する --選挙前の候補者の支持率を推定 --好き嫌いのようなアンケート調査から全体の傾向を推定できる TITLE:母相関係数の推定 *母相関係数の推定 [#hf4b4f3e] **正規分布による近似(標本数の多い場合) [#qde08fed] -二項分布(ある事象が起こるか起こらないかの確率の分布)は、試行回数 &mimetex(\normalsize n ); が十分大きい場合、正規分布に近似できることを利用 -母集団のある事象について、 &mimetex(\normalsize n ); 回の試行(標本の大きさが &mimetex(\normalsize n ); )の標本の比率(標本比率)を &mimetex(\normalsize \bar{p} ); とするとき -母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり **母相関係数の推定の手順 [#xa6d9846] おおまかに、次のような手順で母相関係数の推定を行う。 +母相関係数の有意性の検定(無相関の検定) +母相関係数の推定 **母相関係数の有意性の検定 [#c2b14c72] -母集団において無相関かどうか(相関係数 &mimetex(\normalsize \rho ); が0かどうか)を調べる --標本において相関があっても、母集団では相関が(ほとんど)ない場合がある 次のような手順でチェックをする。 +仮説を立てる --「母相関係数は0である」という仮説を考える(帰無仮説という) +有意水準を設定する --仮説が成り立たない(棄却するという)確率を有意水準という --よくα=0.05かα=0.01が使われる +tの値を算出する #mimetex(){{ \bar{p} - z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \leq p \leq \bar{p} + z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } t_0 = \frac{ r \sqrt{ n-2 } }{ \sqrt{ 1 - r^2 } } }} --標本相関係数を &mimetex(\normalsize r ); 、標本数を &mimetex(\normalsize n ); とする +t分布表から有意水準に対応するtの値(自由度 n-2 )をもとめる --t分布表から、確率 1-α、自由度 n-2 のtの値を算出する +2つのtの値をもとに判定する -- &mimetex(\normalsize t_0 \geq t(n-2, \alpha /2 ) ); の場合 ---仮説を棄却する、すなわち、 &mimetex(\normalsize \rho \neq 0 ); で母相関係数は有意 -- &mimetex(\normalsize t_0 < t(n-2, \alpha /2 ) ); の場合 ---仮説を棄却しない、すなわち、 &mimetex(\normalsize \rho = 0 ); で母相関係数は無相関 **正規分布による近似(標本数の少ない場合) [#vbab27d4] -大きさが &mimetex(\normalsize N ); 母集団のある事象について、 大きさが &mimetex(\normalsize n ); )の標本の比率(標本比率)を &mimetex(\normalsize \bar{p} ); とするとき -母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり **母相関係数の推定 [#t498bc35] 次のような手順で推定する。 +標本相関係数 &mimetex(\normalsize r ); をz変換する --&mimetex(\normalsize r ); を正規分布で近似させるために、フィッシャー(Fisher)のz変換で変換する #mimetex(){{ \bar{p} - z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \leq p \leq \bar{p} + z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } z_r = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right) }} -最初の式(標本数が多い場合の式)より近似の精度が良い(母比率に近い値になる) **F分布から算出(標本数の少ない場合) [#g046efcb] -母集団のある事象について、 &mimetex(\normalsize n ); 回の試行(標本の大きさが &mimetex(\normalsize n ); )の標本の比率(標本比率)を &mimetex(\normalsize \frac{x}{n} ); とするとき -母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼限度は次のとおり --&mimetex(\normalsize \ln ); は自然対数で &mimetex(\normalsize \log_e ); をあらわす --&mimetex(\normalsize z ); は標準偏差 &mimetex(\normalsize s_z = \frac{1}{ \sqrt{n-3} } ); )の正規分布で近似される +母相関係数をz変換した、 &mimetex(\normalsize z_{ \rho } ); の信頼限界を算出する --信頼上限 : #mimetex(){{ \frac{m_1 F_U}{m_1 F_U + m_2} , \hspace{10} m_1 = 2(x+1), \hspace{10} m_2 = 2(n-x) z_U = z_r + z( \alpha / 2) \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } } }} ---第1自由度 &mimetex(\normalsize m_1 ); 、第2自由度 &mimetex(\normalsize m_2 ); に対応するF分布の値を &mimetex(\normalsize F_U ); とする --信頼下限 : #mimetex(){{ \frac{n_2 F_U}{n_1 F_U + n_2} , \hspace{10} n_1 = 2(n-x+1), \hspace{10} n_2 = 2x z_L = z_r - z( \alpha / 2) \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } } }} ---第1自由度 &mimetex(\normalsize n_1 ); 、第2自由度 &mimetex(\normalsize n_2 ); に対応するF分布の値を &mimetex(\normalsize F_L ); とする +&mimetex(\normalsize z_U ); と &mimetex(\normalsize z_L ); を &mimetex(\normalsize r ); に逆変換して、&mimetex(\normalsize \rho ); の信頼限界を求める --信頼上限 : #mimetex(){{ \rho_U = \frac{ e^{ 2z_U} - 1 }{ e^{ 2z_U} + 1 } }} --信頼下限 : #mimetex(){{ \rho_L = \frac{ e^{ 2z_L} - 1 }{ e^{ 2z_L} + 1 } }} |