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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/11th/Population_Rate のバックアップ(No.5)

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2009/11th/Population_Rate へ行く。
- 1 (2009-06-29 (月) 04:49:07)
- 2 (2009-06-29 (月) 11:19:51)
- 3 (2009-06-30 (火) 08:07:10)
- 4 (2009-06-30 (火) 10:26:23)
- 5 (2009-07-01 (水) 01:23:36)

母比率の検定

母比率の検定では、「母比率と標本比率との差の程度」を調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「母比率と標本比率が等しい」 : $\normalsize p = \hat{p}$
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「母比率と標本比率が等しくない」 :
- 両側検定の場合は $\normalsize p \neq \hat{p}$
- 片側検定の場合は $\normalsize p < \hat{p}$ または $\normalsize p > \hat{p}$

二項検定

二項定理を使って、母比率に対する標本比率の統計値を直接計算し、有意水準と比較する
理論的には正当な方法だが計算が複雑なため、コンピュータによる統計処理が登場するまでは、正規分布に近似する方法（後述）などが使われていた。

考え方、

母比率 $\normalsize p_0$ の事象を、 $\normalsize n$ 回試行するとき、
$\normalsize r$ 回起きる確率は次のようになる
$P_r = {}_nC_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r}$
「 $\normalsize r$ 回以上」起きる確率は、次のような確率の和から算出できる
$\begin{eqnarray}P &=& {}_nC_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r} + {}_nC_{r+1} {p_0}^{r+1} (1 - {p_0})^{n-r+1} + \cdots + {}_nC_n {p_0}^n (1 - {p_0})^{0} \\&=& \sum_{i=r}^{n} {}_nC_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\&=& 1 - \sum_{i=0}^{r-1} {}_nC_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\\end{eqnarray}$
算出した確率と有意水準を比較する
- 片側検定
  - 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize P < \alpha$
  - 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize P \geq \alpha$
- 両側検定
  - 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize 2P < \alpha$
  - 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize 2P \geq \alpha$

正規分布に近似

特定の条件の時にだけ使える方法である
- 標本数を $\normalsize n$ 、母比率を $\normalsize p_0$ とするとき、
- $\normalsize np_0 > 5 , \hspace{8} p_0 < 1 - p_0$ 、または、 $\normalsize n > 25$ の場合

考え方

標本の値を $\normalsize x$ 、標本比率を $\normalsize \hat{p_0} = \frac{x}{n}$ とする
標準正規分布に近似される、検定統計量 $\normalsize z_0$ を次の式から算出する
$z_{0} = \frac{ \hat{p_0} - p_0 }{ \sqrt{ \frac{ p_0 (1 - p_0) }{ n } } }$
検定統計量 $\normalsize z_{0}$ を使って判定をする

連続補正をする場合

二項分布は離散型の分布であるため、正規分布のような連続型の分布に近似すると、その精度はあまりよくない
そこで、連続補正（イエーツ(Yates)の補正）をすることで、精度をよくする
$z_{0c} = \frac{ |x - np_0| - 0.5 }{ \sqrt{np_0 (1 - p_0)} }$
補正した検定統計量 $\normalsize z_{0c}$ を使って判定をする

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