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健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/3rd/Dispersion のバックアップ(No.3)

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2011/3rd/Dispersion へ行く。
- 1 (2011-04-16 (土) 02:19:18)
- 2 (2011-04-27 (水) 20:11:54)
- 3 (2011-05-11 (水) 21:11:17)

散布度（dispersion）

代表値のほかに、重要な特性値として「散布度」がある。
平均値に対して、どれくらいデータが散らばっているかを示す。
- 分布の裾の広がり具合
- 平均値への集中の度合い

標準偏差

偏差（diviation）

偏差 $\normalsize d$ は、各データと平均との差である。
- ＋の偏差と−の偏差があるため、すべての偏差の合計は0になる。
  $d_i = \bar{x} - x_i$

分散(variance)と標準偏差(standard deviation)

分析対象となる全体（母集団）の分布のバラつきの度合い求める場合には、代表的な散布度である、分散と標準偏差を用いる。

分散 $\normalsize s^2$ （または $\normalsize \sigma^2$ ）は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたものである。
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す。
  $\begin{eqnarray}s^2 &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2 \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {d_i}^2\end{eqnarray}$

標準偏差 $\normalsize s$ は、分散の平方根を求めたものである。
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
  $s = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n} }$

標準偏差や分散の値が大きい場合はデータのバラつきが大きく、小さい場合はバラつきが小さい（データが同じ程度に揃ってる）

不偏分散（unbiased variance）と不偏標準偏差（unbiased standard diviation）

分析対象となる全体（母集団）ではなく、対象の一部分（標本）の分布のバラつきの度合いを求める場合には、不偏分散と不偏標準偏差を用いる。

不偏分散 $\normalsize U^2$ は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたものである。
- 分散との違いは、分母は「標本数-1」であること。
- データ全体についての平均値からのバラツキの程度を示す。
  $U^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2$

不偏標準偏差 $\normalsize U$ は、分散の平方根を求めたもの
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
  $U = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1} }$

標準偏差の和

$n$ 組の資料（データ）があるとき、資料全体の標準偏差は次のようになる。

$s_{T}=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{n}N_{i}\left(\ V_{i}+D_{i}^2 \right)}{\sum_{i=1}^{n}N_i} }$

$\normalsize s_{T}$ …全体の標準偏差
$\normalsize N_i$ …i組目の資料の標本数
$\normalsize V_i$ …i組目の資料の分散
$\normalsize D_i$ …i組目の資料の偏差

範囲（range）

範囲 $R$ は、データの最大値 $\normalsize x_{max}$ と最小値 $\normalsize x_{min}$ との差で、データ全体の範囲を示す。
ハズレ値の影響を受けやすい
$R = x_{max} - x_{min}$

四分位偏差（quartile deviation）

四分位偏差はデータの変動の目安に利用される散布度で、代表値として中央値を用いたときに使われることがある。
ハズレ値やデータ数に影響されにくい値である。
```
　四分位偏差=(第3四分位数-第1四分位数）/2
```

平均偏差（mean deviation）

平均偏差 $\normalsize M_{dev}$ は、偏差の絶対値を平均したもので、データと平均値とのずれの程度を示す。
$\begin{eqnarray}M_{dev} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| x_i - \bar{x} \right| \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| D_i \right|\end{eqnarray}$

変異係数（coefficient of variance）

変異係数（変動係数） $Cv$ は、標準偏差を平均で割ったもので、平均値に対する標準偏差の割合を示す（％表示）。
変異係数は相対的な散布度（割合を示す無名数で単位はない）で、平均値や標準偏差の異なる複数の種類のデータを比較するときに用いる。
$Cv = s / \bar{x}$

2つの系列（データの集まり）を比較するとき、次のような場合は相対的散布度が有利になる。
- 双方の単位が同じで、平均がほぼ等しい
- 双方の単位は同じだが、平均が違う
- 双方の単位が違う

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