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健康統計の基礎・健康統計学 - 2010/4th/Correlation のバックアップ(No.1)

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2010/4th/Correlation へ行く。
- 1 (2010-05-04 (火) 15:42:07)
- 2 (2010-05-05 (水) 01:27:04)
- 3 (2010-05-06 (木) 05:55:52)

相関 (correlation)

2種類のデータのあいだになんらかの関係がある場合、統計学的な関係がみられるときに、「相関がある」という。

データの大小に関して、一方の値が変わるにつれて、もう一方の値も変わる
- 身長と体重
- 収縮期血圧と拡張期血圧

相関係数 (correlation coefficient)

相関の種類

線形相関：相関（関係）を示すグラフが1本の直線で近似できる
- 順相関：相関が正の場合（グラフが右肩あがりの直線）
- 逆相関：相関が負の場合（グラフが右肩さがりの直線）
非線形相関：相関を示すグラフが指数関数や2次・3時間数のように直線状をしていない

相関係数（ピアソンの積率相関係数）

相関係数（ピアソン(Pearson)の積率相関係数） $\normalsize r$ は、相関の程度をあらわし、次の値をとる。
$-1 \leq r \leq +1$
- 完全相関：相関係数が±1の場合
- 無相関：相関係数が0の場合

相関係数 $\normalsize r$ は、次の式で求められる
$\begin{eqnarray}r &=& \frac{1}{n} \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{s_x s_y} \\&=& \frac{1}{n} \frac{ S_{xy} }{s_x s_y}\end{eqnarray}$
- 標本数: $\normalsize n$
- 標準偏差: $\normalsize s_x$ , $\normalsize s_y$
- 偏差積和（偏差の積の合計）：
  $\normalsize\displaystyle S_{xy} = \sum_{i=1}^n d_x \cdot d_y = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})$
または、次の式でも求められる（統計量だけから計算できる）
$\begin{eqnarray}r &=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ \sum x_i y_i }{n} - \bar{x} \right) \\&=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ T_{xy} }{n} - \bar{x} \bar{y} \right)\end{eqnarray}$
- 積和（2変数の積の合計）：
  $T_{xy} = \sum_{i=1}^n x_i y_i$

偏差積和

偏差積和（偏差の積和） $\normalsize S_{xy}$ とは、偏差（各データと平均の差）の積の総和である。
$\begin{eqnarray}S_{xy} &=& \sum_{i=1}^n d_x d_y \\&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})\end{eqnarray}$
- 標本数: $\normalsize n$
- 偏差: $\normalsize d_x$ , $\normalsize d_y$

共分散

共分散 $\normalsize s_{xy}$ は、偏差積和を標本数で割ったもの。
$\begin{eqnarray}s_{xy} &=& \frac{1}{n} S_{xy} \\&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \\&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_x \cdot d_y\end{eqnarray}$
- 標本数: $\normalsize n$
- 偏差: $\normalsize d_x$ , $\normalsize d_y$
共分散を使うと、相関係数は次のようになる。
$r = \frac{ s_{xy} }{s_x s_y}$

偏差平方和

偏差平方和： $\normalsize S_{xx}$ は、偏差の二乗の合計を計算したもの
$\begin{eqnarray}S_{xx} &=& \sum_{i=1}^n {d_x}^2 \\&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\end{eqnarray}$
偏差平方和を使うと、相関係数は次のようになる。
$\begin{eqnarray}r &=& \frac{ S_{xy} }{ \sqrt{ S_{xx} S_{yy} } } \\&=& \frac{ \sum (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum (x_i - \bar{x})^2 \sqrt{ \sum (y_i - \bar{y})^2} } }\end{eqnarray}$

相関関係と因果関係

相関関係から因果関係を確定するときの注意点

関連の時間性
- 原因は結果の前にあるか
関連の密接性
- 原因が結果に密接に関連するか
関連の特異性
- 原因が結果のは性にどの程度かかわっているか
関連の普遍性
- 対象や時期、方法などが異なっていても、類似した結果が得られるか
関連の合理性
- 従来の理論や経験から考えて矛盾がないか

疑似相関（見かけの相関）

直接の相関はないが何かある要因が2つの事象と相関しているために、 2つの事象に相関がみられるケースがある。
相関関係があるからといって、それが必ずしも因果関係であるとは限らない場合がある。
- 「ビアホールでの1日当たりの生ビールの売り上げ数」と「アイスクリーム店のお客の数」
- 「進行性の疾患をもつ患者の疾患についての知識」と「その疾患の進行度」

相関の程度

相関係数の値から、相関の程度を次のように記述できる。

-1.0≦相関係数r<-0.7	強い負の相関
-0.7≦相関係数r<-0.4	かなりな負の相関
-0.4≦相関係数r<-0.2	やや負の相関
-0.2≦相関係数r≦0.2	ほとんど相関がない
0.2<相関係数r≦0.4	やや正の相関
0.4<相関係数r≦0.7	なかりな正の相関
0.7<相関係数r≦1	強い正の相関

なお、標本数が少ない場合は、母相関係数の推定や検定（後日説明）が必要となる。

順位相関係数

相関がない場合や順位に意味がある・順位だけしかわからない場合には、順位データ（データを小さいほうから並べた順位）をもとに相関を求めてみる。
- 英語のテストの順位と数学のテストの順位の相関
- 薬と奇形児発生の相関
- 2つの銘柄の株価の相関
スピアマン（Spearman）の順位相関係数 $\normalsize r_s$ は、相関係数と同様、次の値をとる。
$-1 \leq r_s \leq +1$
同一順位の場合は、次のように扱う（平均順位）
- 2位が2つある場合：2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする
- 4位が3つある場合：4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする
順位相関係数は、次のようにして求められる。
$r_s = 1 - \frac{ 6 \sum_{i=1}^n d_i^2 }{n^3 - n}$
- 標本数: $\normalsize n$
- i番目の順位差: $\normalsize d_i$

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