独立性の検定 - 健康統計の基礎・健康統計学

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独立性の検定

2つの変数に関連性があるか、つまり2つの変数の独立性を検定する。
アンケートの結果の分析などに利用できる、基本的な手法のひとつ。

分割表（クロス表）

分割表とは

観測された2つの変数（要因と結果など）を組み合わせた表を、「分割表（クロス表）」という
- クロス集計表ともいう
- Excelでは「ピボットテーブル」の機能で作ることができる
k行l列の表からなる分割表を、「 k × l 分割表」という

	$\normalsize B_1$	$\normalsize B_2$	…	$\normalsize B_l$	計
$\normalsize A_1$	$\normalsize n_{11}$	$\normalsize n_{12}$	…	$\normalsize n_{1l}$	$\normalsize n_{1\cdot}$
$\normalsize A_2$	$\normalsize n_{21}$	$\normalsize n_{22}$	…	$\normalsize n_{2l}$	$\normalsize n_{2\cdot}$
…	…	…	…	…	…
$\normalsize A_k$	$\normalsize n_{k1}$	$\normalsize n_{k2}$	…	$\normalsize n_{kl}$	$\normalsize n_{k\cdot}$
計	$\normalsize n_{\cdot1}$	$\normalsize n_{\cdot2}$	…	$\normalsize n_{{\cdot}l}$	$\normalsize n$

なお、周辺分布（右端の列や最下行の値）は、次のような意味になる。
- 標本数 : $\normalsize n_{{\cdot}l}$
- 第 i 行の標本数 : $\normalsize n_{i {\cdot}}$ :
- 第 j 行の標本数 : $\normalsize n_{{\cdot} j}$ :
  $\begin{eqnarray}n_{i \cdot} &=& \sum_{j=1}^l n_{ij} \\n_{\cdot j} &=& \sum_{i=1}^k n_{ij} \\n &=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l n_{ij} \\\end{eqnarray}$

期待度数

分割表の各セルの期待値は、周辺分布の値から、次のように計算する。
- i 行 j 列のセルの期待値 : $\normalsize e_{ij}$
  $\begin{eqnarray}e_{ij} &=& n \times \frac{ n_{i \cdot} }{n} \times \frac{ n_{{\cdot} j} }{n} \\&=& \frac{ n_{i \cdot} n_{{\cdot} j} }{ n }\end{eqnarray}$

独立性の検定（2×2より大きい表の場合 : 自由度 df >1）

2行2列より大きい分割表の場合は、カイ二乗（ $\normalsize \chi^2$ ）分布を利用して検定する

帰無仮説と対立仮説

2つの変数が独立であるか（関連がないか）を調べるを調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「2つの変数は独立である（関連がない）」
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「2つの変数は独立ではない（関連がある）」

検定統計量の算出

自由度 $\normalsize (k-1) \times (l-1)$ のカイ二乗（ $\normalsize \chi^2$ ）分布にしたがう、検定統計量 $\normalsize {\chi_0}^2$ を次の式から算出する
${\chi_0}^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l \frac{( n_{ij} - e_{ij} )^2}{ e_{ij} }$

仮説の判定（両側検定）

検定統計量 $\normalsize {\chi_0}^2$ と、自由度 $\normalsize df = (k-1) \times (l-1)$ 、有意水準 $\normalsize \alpha$ の有意点の値（カイ二乗分布表などから求める）を使って、判定をする
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize |{\chi_0}^2| > \chi^2$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize |{\chi_0}^2| < \chi^2$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

独立性の検定（2×2表の場合 : 自由度 df =1）

2行2列の分割表の場合は、直接確率を計算するか、カイ二乗（ $\normalsize \chi^2$ ）分布に近似した検定統計量で検定する
- フィッシャー(Fisher)の直接確率法
  - 標本数が20未満、または標本数が40未満で最小期待値が5未満の場合
- イェーツ(Yates)の連続補正
  - 標本数が40未満で、フィッシャーの直接確率法の条件を満たさない場合
ここでは、Yatesの連続補正について説明する

帰無仮説と対立仮説

2つの変数が独立であるか（関連がないか）を調べるを調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「2つの変数は独立である（関連がない）」
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「2つの変数は独立ではない（関連がある）」

2×2分割表

観測値による分割表を、次のようにあらわす
要因1 要因2 計
結果A $\normalsize a$ $\normalsize b$ $\normalsize a+b$
結果B $\normalsize c$ $\normalsize d$ $\normalsize c+d$
計 $\normalsize a+c$ $\normalsize b+d$ $\normalsize a+b+c+d =n$

期待値による分割表は、次のような表になる
要因1 要因2 計
結果A $\normalsize (a+b) \times \frac{a+c}{n}$ $\normalsize (a+b) \times \frac{b+d}{n}$ $\normalsize a+b$
結果B $\normalsize (c+d) \times \frac{a+c}{n}$ $\normalsize (c+d) \times \frac{b+d}{n}$ $\normalsize c+d$
計 $\normalsize a+c$ $\normalsize b+d$ $\normalsize a+b+c+d =n$

検定統計量の算出

2×2分割表では、次の式のような簡便な方法から、自由度 $\normalsize (2-1) \times (2-1) =1$ のカイ二乗（ $\normalsize \chi^2$ ）分布にしたがう、検定統計量 $\normalsize {\chi_0}^2$ を次の式から算出できる
${\chi_0}^2 = \frac{ \left( ad-bc \right)^2 n }{ (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) }$
しかし、この方法では、計算した値が実際の $\normalsize \chi^2$ 分布とずれてしまうことがわかっている
- 理由は、 $\normalsize \chi^2$ 分布は連続的にもかかわらず、計算した検定統計量は離散的だから
そこで、Yatesの連続補正を使って補正した、検定統計量 $\normalsize {\chi_{0c}}^2$ を用いる
- 原則として、2×2分割表ではYatesの連続補正を使うと考えてよい
  ${ \chi_{0c} }^2 = \frac{ \left( |ad-bc| - \frac{n}{2} \right)^2 n }{ (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) }$

仮説の判定（両側検定）

検定統計量 $\normalsize {\chi_{0c}}^2$ と、自由度 $\normalsize df = (2-1) \times (2-1) = 1$ 、有意水準 $\normalsize \alpha$ の有意点の値（カイ二乗分布表などから求める）を使って、判定をする
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize |{\chi_{0c}}^2| > \chi^2$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize |{\chi_{0c}}^2| < \chi^2$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

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Last-modified: Tue, 21 Jul 2015 23:56:00 HADT (3561d)