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確率

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事象

  • あることを実施して（試行）、それによって起こった結果を「事象」といい、事象 A を \normalsize A と表す
    • 全体の事象のことを「全事象」といい、 \normalsize \Omega と表す
    • 決して起こらないことを「空事象」といい、 \normalsize \phi と表す
    • 事象 A または B が起こる確率を「和事象」といい、 \normalsize A \cup B と表す
    • 事象 A と B が同時に起こる確率を「積事象」といい、 \normalsize A \cap B と表す
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確率 (Probability)

  • 「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である
    • ある事象 A が起こる確率を、 \normalsize \mathrm{P}(A) と表す
    • 確率は、0 から 1 の間の値をとる
      0 \leq \mathrm{P}(A) \leq 1
      • 全事象の確率は \normalsize \mathrm{P}( \Omega ) = 1 となる
      • 空事象の確率は \normalsize \mathrm{P}( \phi ) = 0 となる
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数学的確率

  • あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「数学的確率」という
  • 例えば…
    • サイコロの目の出方は6通り
    • 3の目が出る確率は 1/6
  • 事象Aの確率は、事象 A の起こる場合の数 a を、すべての場合の数（何通りあるかすべて数えたもの）N で割ったものである
    \mathrm{P}(A) = \frac{a}{N}
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統計的確率

  • 実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「統計的確率」という
  • 例えば…
    • 実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た
    • この時点での、3の目が出た確率は 13/60
  • 事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである
    \mathrm{P}(A) = \frac{r}{n}
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大数の法則

  • 試行（あることを実施する）回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「大数の法則」という
  • 例えば…
    • 実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が160回出た
    • その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/6
      \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n}&=& \frac{a}{N}\end{eqnarray}
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加法定理

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排反前提の場合

  • 2つ、または2つ以上の排反事象（同時に起こりえない事象）が起こる確率は、 それぞれの確率の和である
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) \\[10]\mathrm{P}(A \cup B \cup C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) + \cdots \\\end{eqnarray}
    • 同時に起こりえない（2つ、または2つ以上の）事象を「排反事象」という
      A \cup B = \phi
      排反事象の場合の加法定理
  • 例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\[10]&=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\end{eqnarray}
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一般の場合

  • 2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、 それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの
    \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)
    一般の場合の加法定理
  • 例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはＡ（エース）を引く確率は、次のとおり
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\[10]&=& \frac{4}{13}\end{eqnarray}
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乗法定理

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条件つき確率

  • 「A が起こったときに B が起きる」事象を、\normalsize B \mid A と表す
  • 「A が起こったときに B が起きる」事象の確率、つまり、A が起こったという条件のもとで B が起きる確率を、「条件つき確率」といい、\normalsize \mathrm{P}( B \mid A ) と表す
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\\end{eqnarray}
  • 上の式の両辺に \normalsize \mathrm{P}(A) を掛けると、次のように式が変形できる
    \mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B \mid A)
    • B が A に関係なく起きる（事象 A と B が独立な事象である）場合、「乗法定理」が導き出せる
  • 例：サイコロを投げて、奇数の目が出たとき（事象 A ）に、それが1の目である（事象 B ）確率は、次のとおり
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\[10]&=& \frac{1}{3}\end{eqnarray}
    • A = 奇数の目が出る = {1, 3 ,5}
    • B = 1の目が出る = {1}
  • 例：ある男女100人について結婚しているかどうか調査した結果が、次のようになった。この100人から1人を選んだとき、それが結婚している男性である確率は？
     男性女性合計
    結婚している262147
    結婚していない292453
    合計5545100
    • A = 選んだ人が男性である = 55人
    • \normalsize A \cap B = 結婚している男性である = 26人
      \begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\[10]&=& \frac{26}{55}\end{eqnarray}
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乗法定理

  • 2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に（または続けて）起こる確率は、 確率の積になる
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cap B) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \\[10]\mathrm{P}(A \cap B \cap C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \times \mathrm{P}(C) \times \cdots \\\end{eqnarray}
  • 「独立事象」とは、ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない（他の事象に関係なく発生する事象）
  • 例：サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率（1の目が出た後、1の目が出る確率）は、次のとおり
    \begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{1}{36}\end{eqnarray}
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余事象

  • ある事象Aについて、その事象がおこらないすべての場合（の事象）を「余事象」 \normalsize \bar{A} と表す
  • 余事象が起こる確率を \normalsize \mathrm{P}( \bar{A}) と表す
    \mathrm{P}( \bar{A}) = 1 - \mathrm{P}(A)
    余事象
  • 例：サイコロを2回投げたとき、「少なくとも」1回は3の目が出る確率は、次のとおり
    1. 「少なくとも〜」の場合は、余事象の確率を考える
    2. サイコロを1回投げて、3の目が全く出ない確率は 5/6
    3. 2回目も3の目が出ない確率は、次のようになる
      \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}
    4. サイコロを2回目投げて何かが出る確率（=1）から、2回とも3の目が出ない確率をひけば、少なくとも1回は3の目が出る確率になる
      1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:36 JST (3691d)