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AND OR

代表値(average)

  • データの分布などの特徴を示す数値(特性値)を「代表値」という。
  • データ全体をひとつの値で代表させる値である。

平均値(mean)

算術平均(arithmetic mean)

  • 算術平均 \normalsize \bar{x} は、データをすべて足しあわせ、データ数で割ったもの。
  • 平均値のなかで、もっとも一般的なもの。
    \begin{eqnarray}\bar{x} &=& \frac{1}{n} \hspace{5} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\end{eqnarray}

幾何平均(geometric mean)

  • 幾何平均 \normalsize Gm は、各データの値の積に対してデータ数のべき根を求めたもの。
    \begin{eqnarray}Gm &=& \sqrt[n]{ x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n } \\ &=& \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n} \\ &=& \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/n}\end{eqnarray}
  • 幾何平均の例
    • 5年間の物価上昇率が7%のとき、1年の平均上昇率は何%か?
    • 過去3年間の売上高の対前年比が120%、110%、130%のとき、平均の売上高の伸びは?

調和平均(harmonic mean)

  • 調和平均 \normalsize Hm は、データ数を各データの値の逆数の和で割ったもの。
    \begin{eqnarray}Hm &=& \frac{ n }{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} } \\ &=& \frac{ n }{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} }\end{eqnarray}
  • 調和平均の例
    • 山頂まで6kmの道のりを、往きは2km/hで、帰りは6km/hで歩いたとき、平均の速さはいくらか?
    • 車でドライブをして、最初の24kmは30km/h、次の24kmは40km/h、最後の24kmは60km/hで走った時、平均速度はいくらか?

中央値(median)

中央値(中位数)

  • 中央値 \normalsize Me は、データを大きさの順に並べたときに、中央にくる値のことである。
    • データ数が奇数のときは中央にくるデータの値になる。
    • データ数が偶数のときは中央にある2つのデータの平均の値になる。
      Me = \left{ x_m\text{    if $n$ is odd, $m=(n+1)/2$ } \\\frac{ x_m + x_{m+1} }{2} \text{  if $n$ is even, $m=n/2$ }\right.
  • 中央に位置するデータが複数個ある場合(「結び(tie)」があるという)、次のような式で中央値を求めることができる。
    Me = \frac{1}{ 2 n_M } ( n_{ x > M } \hspace{5} - \hspace{5} n_{ x < M } ) + M
    • 中央にあるデータ : M
    • M になるデータの個数 : n_M
    • M より小さいデータの個数 : n_{ x < M }
    • M より大きいデータの個数 : n_{ x > M }
  • 度数分布表がある場合は、階級や度数などの情報から、中央値を求めることもできる。
    Me = l_m + \left( \frac{n}{2} - F \right) \frac{h}{f_m}
    • 標本数 : \normalsize n
    • 階級幅 : \normalsize h
    • m 番目の階級の下限 : \normalsize l_m
    • m 番目の階級の度数 : \normalsize f_m
    • m-1 番目までの累積度数 : \normalsize F

四分位数(quartile)

  • ヒストグラムから考えると、四分位数はヒストグラムの面積を1/4ずつに分ける値である。
    • 中央値は、ヒストグラムの面積を半分に分ける値になる。
  • データを大きさの順に並べた場合は、データの個数を4分の1ずつの部分にわける個所である。
  • 小さいほうから、第1、第2、第3四分位数といい、中央値は、第2四分位数になる。
  • データが \normalsize n 個のあるときの第1四分位数 \normalsize Q_1 と第3四分位数 \normalsize Q_3 は、次のようにして求められる。
    • \normalsize n = 4k+1, \hspace{5} 2, \hspace{5} 3 の場合
      \begin{eqnarray}Q_1 &=& x_{ k+1 } \\Q_3 &=& x_{ n-k }\end{eqnarray}
    • \normalsize n = 4k の場合
      \begin{eqnarray}Q_1 &=& (x_k + x_{ k+1 }) / 2 \\Q_3 &=& (x_{ n-k } + x_{ n-k+1 } ) / 2\end{eqnarray}

百分位数(percentile)

  • 百分位数(パーセンタイル値)は、ヒストグラムの面積を1/100ずつに分ける値である。
    • 25パーセンタイル値は第1四分位数である。
    • 50パーセンタイル値は中央値(第2四分位数でもある)。
  • 度数分布表がある場合は、階級や度数などからパーセンタイル値 \normalsize p を求めることもできる。
    p = l_m + \left( \frac{n \times p}{100} - F \right) \frac{h}{f_m}
    • 標本数 : \normalsize n
    • 階級幅 : \normalsize h
    • m 番目の階級の下限 : \normalsize l_m
    • m 番目の階級の度数 : \normalsize f_m
    • m-1 番目までの累積度数 : \normalsize F

最頻値(mode)

  • 最頻値 \normalsize Mo は、データのなかで最も多く出てくる値のことである。
    • 度数分布表がある場合は、もっとも度数の多い階級値を最頻値として、次の式から最頻値を求めることができる。
      Mo = l_m + \frac{ f_{m+1} }{ f{m-1} + f{m+1} } \times h
      • 最大度数の階級 : \normalsize m
      • 階級幅 : \normalsize h
      • m 番目の階級の下限 : \normalsize l_m
      • m 番目の階級の度数 : \normalsize f_m
  • 分布が釣り鐘形の場合は、ピアソン(Pearson)の式を用いることができる。
    Mo = \bar{x} - 3 \times (\bar{x} - Me)

代表値の特性

  • 平均値はすべてのデータを反映している。
    • ハズレ値(極端に小さく・大きくて飛び離れたデータ)があるとその影響を受けやすいため、ハズレ値の考慮が必要。
  • 中央値(四分位数や百分位数も)は分布上の位置(中央など)を示す。
    • ハズレ値の影響を受けにくく、分布に偏りがある場合に優れている。
  • 最頻値は、「データの多くはこのあたりにある」という説明をするのにわかりやすい。
    • ハズレ値の影響を受けにくい。

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 01:49:36 HADT (3789d)