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AND OR

母比率の推定

母集団から抽出した標本をもとに母集団の比率（母比率）を区間推定する

  • 選挙前の候補者の支持率（支持する／支持しない）を推定できる
  • 好き嫌いのようなアンケート調査から全体の傾向を推定できる
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正規分布による近似（標本数の多い場合）

  • 二項分布（ある事象が起こるか起こらないかの確率の分布）は、試行回数 \normalsize n が十分大きい場合、正規分布に近似できることを利用
  • 母集団のある事象について、 \normalsize n 回の試行（標本の大きさが \normalsize n ）の標本の比率（標本比率）を \normalsize \bar{p} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{p} - z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }
    • なお、標本比率を \normalsize \bar{p} = \frac{X}{n} とすると、その平均 \normalsize E( \bar{p} ) と分散 \normalsize V( \bar{p} ) は、次のようになる
      \begin{eqnarray}E( \bar{p} ) &=& E ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} np \\[10]&=& p \\[10]V( \bar{p} ) &=& V ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n^2} V(X) = \frac{1}{n^2} np(1-p) \\[10]&=& \frac{p(1-p)}{n}\end{eqnarray}
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正規分布による近似（標本数の少ない場合）

  • 大きさが \normalsize N 母集団のある事象について、 大きさが \normalsize n ）の標本の比率（標本比率）を \normalsize \bar{p} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{p} - z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} }
  • 最初の式（標本数が多い場合の式）より近似の精度が良い（母比率に近い値になる）
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F分布から算出（標本数の少ない場合）

  • 母集団のある事象について、 \normalsize n 回の試行（標本の大きさが \normalsize n ）の標本の比率（標本比率）を \normalsize \frac{x}{n} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼限度は次のとおり
    • 信頼上限 :
      \frac{m_1 F_U}{m_1 F_U + m_2} , \hspace{10} m_1 = 2(x+1), \hspace{10} m_2 = 2(n-x)
      • 第1自由度 \normalsize m_1 、第2自由度 \normalsize m_2 に対応するF分布の値を \normalsize F_U とする
    • 信頼下限 :
      \frac{n_2 F_L}{n_1 F_L + n_2} , \hspace{10} n_1 = 2(n-x+1), \hspace{10} n_2 = 2x
      • 第1自由度 \normalsize n_1 、第2自由度 \normalsize n_2 に対応するF分布の値を \normalsize F_L とする
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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:36 JST (3692d)