健康統計の基礎・健康統計学 - 点推定と区間推定

点推定と区間推定

点推定（point estimation）

点推定とは

• 標本の特性値1つから母集団の特性値を推定する
  • 母数（パラメータ）：母集団の特性値（統計量）
    • 母平均（母集団の平均）、母分散（母集団の分散）、母比率（母集団の比率）
    • 直接調べることはできない
  • 推定量：標本をもとに母数として推定した統計量
    • 標本平均（標本の平均）、不偏分散（標本の分散）、標本比率（標本の比率）
    • 推定値：推定量から求めた具体的な値
• 点推定では、標本の推定値が必ずしも母数と一致するとは限らない（たいてい誤差が生じる）

推定量の望ましい性質

• 不偏性
  • その期待値（平均値）が母数と一致する推定量を「不偏推定量」という
    • 標本平均について、その期待値は母平均に一致する（中心極限定理へ）
• 一致性
  • 標本数を大きくしていくと推定値が母数に近づく推定量を「一致推定量」という
    • 大数の法則から明らか（統計的確率は数学的確率に近づく）
• 有効性
  • ある母数に対して2つ以上の推定量がある場合に分散（誤差）の小さい推定量を「有効推定量」という
    • 標本の中央値に比べ、標本平均の方が、分布の分散が小さい

区間推定（interval estimation）

区間推定とは

• 標本の推定量から、「ある確率」で、母集団の特性値（母数）の範囲を示す

信頼区間と信頼係数

• 信頼区間
  • 「ある」確からしさで示される、母集団の特性値の範囲
  • 95%信頼区間
    • 標本から平均値を出したとき、母平均（母集団の平均）がその区間にあるのが100回中95回以上の確率で、間違える危険性が5回未満
  • 99%信頼区間
    • 標本から平均値を出したとき、母平均（母集団の平均）がその区間にあるのが100回中99回以上の確率で、間違える危険性が1回未満
    • 注意：「母平均の値が95（または99）%の確率でその区間のどこかにある」と解釈してはいけない
  • 信頼限界：信頼区間の上限および下限の値
• 信頼係数
  • 区間推定の確実性をあらわし、「1-α」（αは0.05または0.01）であらわす
  • 信頼度 : 100×(1-α) %

区間推定の考え方

1. 標本の推定量（標本平均、標本比率など）の分布を選択する
   • （標準）正規分布、t分布、F分布、カイ2乗分布
2. 推定量の分布の平均と分散（標準偏差）を求める
3. 母数にあった方法で、信頼区間を算出する
   • 一般的には次のようになる
     • 信頼下限：<推定量の平均>−<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>
     • 信頼上限：<推定量の平均>＋<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>

中心極限定理（central limit theorem）

• 平均が 、分散が の母集団から大きさ の標本を抽出して、その標本平均 を調べると、その分布は平均が 、分散が の正規分布に従う（ は十分大きな数とする）
  • つまり、「標本平均の平均（期待値）は、母集団の平均に一致する」
  • また、「母集団の分布に関係なく、標本平均の平均は正規分布にしたがう」
  • 母集団が正規分布にしたがうなら、標本の大きさにかかわらず、中心極限定理が成り立つ
  • 参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/tyuusin2/chuusin.htm